三、数学教育的基本模式

在自然科学学科的教学中面临着一个共同的问题，那就是如何掌握各学科都涉及到的数学问题，这个问题可以一般地归结为是数学学科的教学问题。数学的教学与物理学及其他自然学科的教学相比有很大的特殊性，在数学中有更少的文字内容，严格的逻辑关系支配了一切。尽管如此，数学大师仍然有一些重要的哲学思想可以作为经典教育的内容。此外，在数学教学中，也应在开始时就把数学基本概念和定理本身的系统掌握看作是十分重要的事情。如对于欧几里德几何学来说，在《几何原本》中一开始就严格加以定义的概念和五大公理及所有的定理推理，乃是全部核心内容。这门学科之所以在历史上对于科学史乃至于对于哲学史都产生了巨大的影响，就在于它用了极为有限的概念和公理就包容了整个严密体系，这一点被认为是人类理性的奇迹，成为思想家们历来建立其思想体系时有意识或无意识加以模仿的标准。对于每一个学生来讲，记住并理解这些概念和公理并不是什么困难的事。此外，再通过熟悉一些科学家的经典论述，使学生在学完几何学之后，能够对几何体系的这种严密性产生一种由衷的崇敬心情，这应是我们培养一个学生的科学精神和素质所要达到的最基本的目标。相反，如果我们忽视对几何学整个体系结构的把握，而是专注于用那些无穷的几何难题来与学生的脑力作对，不下决心把大多数学生都考倒考怕，最后相信自己不是学数学的料就决不罢休，其结果必然是如今天大家只要稍微反省一下都可以看到的，那就是，即使把这门课学得很好的人（实际就是能够较快地解答较难习题的人，如我之辈），到了大学乃至硕士毕业了，几大公理和几个基本概念的严格定义都一概忘记，说不出个子丑寅卯来。尽管此时他拿起往日的习题来可能仍然会做，可是这种解题的能力又是绝少有用的。如此的教育效果不仅不能算是成功的，甚至应该认为是专门残害人才和浪费人的宝贵青春光阴的。

关于科学学科的教学，王财贵先生主张应当从易到难，从简单到复杂，这一点与人文学科应当从较难的基本经典着手相比，两者之间的差别是很鲜明的，但似乎没有什么道理可讲。我们认为，从易到难，从简单到复杂，作为一般原则来讲是对的，这即使对于人文科学来讲也是对的。问题在于不能对这个原则加以简单化理解，以为可以不言而喻地落实到实践中。我们认为要将这个原则与整体先于部分的原则结合起来，才能在教学上得出比较完备和可行的结论。

我们已经讲过，经典文化教育方式在体现整体先于部分的同时，也未必就违背了从易到难和从简单到复杂的原则，因为我们选择经典作为教材，这是根据其他原则作出的。在经典作品的具体教学中，依然是从易到难，即先从形式的整体熟悉开始，以便逐渐加深理解，再到局部的仔细深刻理解。以为少儿一开始接触的经典对成人而言是难理解的，由此推出对他们也是难的，这乃是以一个潜意识的信条作为根据的，那就是认为作为学校教育教材的书必须是一学就要会，一教就会懂的。根据这个并无多少合理性的标准来选择，自然就会把经典作品排斥在外了。

另外我们还主张，在非经典教材的科学学科教学中，也要体现整体先于部分的原则，把决定整个知识体系的基本原理和概念的熟悉放在首位，一开始就加以熟悉，这同样也并不违背从易到难的原则。因为一个学科最主要的基本原理并非就是最难的和最复杂的，而往往可能是最简单的、最容易的。但如果将这些看似简单的基本概念往深处去追问，又是很少有人能够真正理解透彻的，这一点是与人文经典相似的。大约正是因为看到了这点，诺贝尔物理学奖获得者杨振宁先生才一直坚持为本科生教授普通物理学课程，回清华大学定居了仍然坚持。我们说应从基本原理和概念的熟悉开始，并不意味着一开始就彻底掌握它们，我们完全可以从简单的形式方面去熟悉它们，而把接下去的学习过程看作是对它们的深入理解和掌握过程。这样一种原则和方法之适用于物理学和几何学的情况，我们已经讲过了，那么它们适用于的数学中最基础的算术或数论情况又怎样呢？这是我们在这里要补充回答的。

对于数学教学而言，似乎是最适合于从易到难、从简单到复杂的情况，因为数学整个学科所讲求的都是一种严密的逻辑体系。在这个体系中最简单也是最基础的当然是自然数列、有理数列以及内含其中的加减乘除等基本运算。这些东西无疑是每一个学数学的人一开始都必须学的，它们是否就是数学中的基本原理呢？我们认为这恰恰也就是数学中最基本的原理。我们通常以为这些东西似乎是最简单的，似乎不存在需要进一步理解的东西，那是因为许多人不了解数字的任何规律的含义，不知道不同的进位制所包含的自然规律的信息。我们从河图洛书的数理中可以发现这里有着无穷尽的奥妙。

值得注意的是，同样必须从自然数列开始的数学教学，是否能够自觉应用整体先于部分的原则，可以产生很不同的教学效果。关于自然数和有理数的加减乘除等算术的内容，是小学阶段所要学的。通常我们传授这些内容的方法总是按照一种死板的渐进教学法，先学1到20的自然数，接着学20以内自然数的加法，接着学比20大的自然数的加法，接着再学减法。大约到二三年级再学乘除，乘除学习也是从小的自然数开始，到了小学高年级再学小数分数等。这样一种教学就完全忽视了整体先于部分的原则，忽视了学生对知识的整体结构的印象可以有利于他对细部知识的理解这一认知心理原理。如果我们把握了这个原则，就可以按照一个新的方法和顺序进行教学，使学生在很短的时期内就可以掌握上述全部内容，而且可以在这个过程中让学生充分享受自主发现知识和熟悉知识所带来的乐趣。

首先我们要清楚，算术最基础的东西就是自然数列，然后是有理数列。加减乘除以及其他数学的一切内容，都可以归结为是数列中之数与数之间关系规律的揭示。看似简单的数列，实际上是数学知识体系的最基本构架，而数学知识的学习也应当从数列的学习开始。

数列的学习显然应从自然数列开始，但自然数列的学习不宜在只学十几到二十个数之后就开始学加减，而应当把整个数列及其逻辑都熟悉之后，才能学进一步的东西。因为只有让学生学会了很大的数，这个数列的进位逻辑结构才会比较充分地显示出来。只有一个人对数列的逻辑结构清楚了，他才能真正理解每一个数的含义，他才会把数从对于具体实物的依赖中解脱出来，转而从数列的逻辑结构本身来理解数字。当然少儿对这种逻辑的理解也有不同于成人的特点，它不是清晰自觉的，而是直觉的。如果他对自然数列明白，进而让他明白整数数列也是容易的。不要认为负数的概念就一定比正数难以理解，理解的程度怎样主要取决于他对整体结构的把握，这种把握不仅可以是有意识的，也可以是无意识的和直觉的。在整个整数数列中，通过正数负数的对称关系，负数自然也就容易理解。在整数数列的基础上甚至可以进一步学小数数列和分数数列。对于小数概念可以通过简单的实例来说明，学生一旦明白了两个相今整数之间的小数数列，再加上他事先有对数列结构的认识，自然也就很容易知道所有的小数数列。（至于分数数列也是一样。

可想而知，当一个学生对于数列的逻辑结构很熟悉之后，加减乘除会变成是多么容易的事。一旦他从具体实例中明白了加、减、乘、除、负数等概念的含义，通过他自己的操作计算完全可以把加减乘除的简单口诀表全部发现出来。这样一个发现的机会一定要留给每一个少儿，如果让他们失去了这个自我发现的机会，那就是教师的罪过。一旦他们完成了这样一个发现过程，教师就应当把这些结果排列成一个有内在结构和规律的表格让他们去熟背。只有让他们分别在加减乘除的口诀表的整体结构之中去背诵每一个算式，才可以尽快让他们记住，因为整个表的排列规律会帮助他们记忆。由于少儿的记忆力是很强的，如果教师让他们把整体记忆的时间拖得太长，养成了习惯，就会大大降低学习效率和思维反应的敏捷程度，这些都是会影响终生的大事情。如果不是让少儿联系算术口诀表的整体进行背诵和记忆，而是学一点记一点，结果必然会使记忆过程拉得很长，这也缺少效率。另外，对于加减乘除，可以在连续学完之后再熟记，也可以在学完加法并记住加法口诀表之后再继续下去。但中间间隔的时间一定不要很长，因为没有什么证据表明减法比加法更难理解，乘除比加减更难理解，以至于需隔几个月或一年的时间再学下一个算法。实际上，在较短时间内学完并熟记四个算法，也会有利于加深对每一个算法的理解，因为各种算法之间本来是互相联系的。

可以想象，学完上述内容用一学期到一年的时间就足够了。学了这些之后，再去做现在教材里的许多应用练习和进行复杂的计算就比较简单了，就好像是在复习似的。这样的学习应是很快乐的，而且效率很高，效果会很好。学完全部小学阶段的数学内容在一两年之内足够了，而且几乎可以保证每一个人都百分百地掌握基本内容，只不过不能保证每一个人做习题都一样熟练。

至于初高中乃至大学的数学教学，也可以用类似的方法灵活地应用整体先于部分的原理，相信也会产生良好的效果。

这些问题看起来都很小，但实际上在整个基础教育过程中却是属于关键的和中心的教学环节，把这些环节做好，就会为少儿的未来学习树立很强的自信心，并可以提供很好的教与学的方法模式，这一切都是会影响终生的大事。